물리 세특 : 관성모멘트 적분 계산

 

2024.07.14 - [세특/물리 실험, 세특] - 물리 세특 주제 : 회전 운동 에너지

물리 세특 주제 : 회전 운동 에너지

  이 글에서 이어집니다. 관성 모멘트 계산 자체만 궁금하신 분들은 현재 글만 바로 읽으셔도 되고, 관성 모멘트, 각속도, 회전 운동 에너지에 대한 정보도 필요하신 분들은 위 글을 읽고 현재 글을 읽으시면 큰 도움이 될 것 같습니다.

1. 관성모멘트 계산 방법

  관성모멘트는 회전 운동을 기술할 때 필요한 물리량이었고, 병진 운동에서의 질량에 대응되는 값이었습니다. 관성모멘트는 어떤 질량 m과 그 질량의 중심축으로부터의 거리 r을 이용하여,

 

I = ∑(mr^2)

 

다음과 같이 구했습니다. 그리고, 미소 질량 dm을 사용하여 적분을 통해 그 값을 구하는 방식을 사용할 수 있습니다.

 

I = ∫(r^2)dm

 

이때, dm과 길이 r 사이의 관계를 알아야 적분을 진행할 수가 있겠죠? 밀도 = (질량)/(부피) 임을 알고 계실 겁니다. 밀도가 어떤 물체에서 일정하다고 가정하면, 질량 = (밀도)(부피)가 되고, 질량 dm = (밀도)dV가 될 것입니다. 이때, 구하고자 하는 물체가 3차원 물체라면 부피의 밀도로  ρ, 2차원 물체라면 면밀도 σ, 선밀도는 λ의 기호로 나타냅니다. 그러니 1차원 물체의 경우는 dm = λdℓ(미소 길이), 2차원의 경우 dm = σdA(미소 면적), 3차원의 경우는 dm = ρdV(미소 부피)로 바꾸어서 풀면 됩니다.

2. 회전축이 끝에 있는 막대의 관성 모멘트

  그러면 이번에는 예시 물체를 통해 그 물체의 관성 모멘트를 직접 구해 보겠습니다. 다음과 같은 상황입니다.

I = ∫(r^2)dm 이고, 막대의 세로 길이를 무시하고 생각하면 1차원 막대로 볼 수 있습니다. 앞서 말씀드렸던 것처럼, dm = λdℓ이고 이때의 dℓ은 dr과 같습니다. 이때 물체의 밀도가 일정하다고 가정하면, 선밀도 λ는 전체 질량 M을 전체 길이 L로 나눈 값, 즉 M/L과 같습니다. 그리고 이를 상수 취급 할 수 있으므로 I = ∫(r^2)dm = ∫(r^2)λdr = (M/L) ∫(r^2)dr이 됩니다. 이제 해야할 것은 적분의 계산과 그 구간을 설정하는 것인데요, dr은 중심축으로부터 미소 질량까지의 거리와 같고, 이는 0부터 막대의 전체 길이 L까지이므로, 이렇게 적분을 진행하면 됩니다. 따라서,

 

(M/L) ∫(r^2)dr(구간은 0부터 L까지) = (M/L)1/3L^3 = (ML^2)1/3

 

라는 값을 얻을 수 있습니다. 따라서 회전축이 막대의 끝에 있는 막대의 관성 모멘트 = (M/L^2)1/3 입니다.

3. 원판의 관성 모멘트

  이번에는 원판의 관성 모멘트를 구해 보겠습니다. 이번에는 회전축이 원판의 중심을 뚫고 지나가는 상황인데요, 원판의 반지름은 R이라고 두며, 별다른 상황 설명 그림은 삽입하지 않겠습니다.

  이번에도 역시 I = ∫(r^2)dm 이며, 원판이므로 2차원 물체로 생각하겠습니다. dm = σdA 이고, 밀도가 일정하다고 생각하면 σ= M/A 입니다. 그리고 원의 넓이 A = πR^2이므로, ρ = M/πR^2입니다. 따라서 dm = (M/πR^2)dA입니다. 이제 dA를 r에 대한 식으로 나타낼 필요가 있겠습니다.

두 개의 원을 생각해볼까요? 작은 원의 반지름은 r, 큰 원의 반지름은 r + dr입니다. 그리고 각이 미소 각도 dθ이면, 그 부채꼴은 작은 부채꼴이 1/2(r^2)dθ, 큰 부채꼴이 1/2(r+dr)^2dθ이며, 그 부채꼴 크기의 차이는 1/2{2rdrdθ + (dr)^2d θ}가 됩니다. 이때, dr은 매우 작은 값인데요, 따라서 dr>>(dr)^2이므로 1/2{2rdrdθ + (dr)^2dθ}에서 (dr)^2dθ은 무시해도 좋은 값이 됩니다. 따라서 부채꼴 크기의 차이는 rdrdθ로 보아도 좋습니다.

rdrdθ 그림

그리고 이 rdrdθ를 한 바퀴 돌리면, 다음과 같이 도넛 모양의 넓이를 구하게 됩니다.

 

이 넓이는 rdrdθ를 θ에 대해 구간을 0부터 2π까지로 두고 적분하면 얻을 수 있고, 이 도넛 모양의 넓이는 2πrdr과 같습니다.  이제 이 도넛 모양의 넓이 2πrdr을 0부터 원판의 반지름 R까지 적분하면, 도넛의 넓이를 쌓고 쌓아 하나의 원판을 만들 수 있게 되겠지요? 이제 A = ∫2πrdr(적분 범위는 0부터 R까지)를 구해 보면 원판의 넓이를 r에 대한 식으로 구할 수 있게 됩니다.

 

(M/πR^2) ∫(r^2)dA(구간은 0부터 R까지) = (M/πR^2) ∫(r^2)2πrdr = (M/πR^2) ∫ 2πr^3dr = (MR^2)/2

 

라는 값을 얻을 수 있습니다. 각으로 일차적으로 적분, 길이 r에 따라 두 번째로 적분하여 원판의 관성모멘트 I = (MR^2)/2라는 값을 얻어낼 수 있었습니다.

 

  다음에는 입체적인 관성모멘트 계산과 이를 위해 필요한 이론적 배경에 대해서도 설명드려 보겠습니다. 차근차근 따라하시면서 값을 구해 보시고, 추가적으로 막대의 중심에 회전축이 있는 막대의 관성모멘트도 비슷한 과정을 통해 구해 보시면 좋을 것 같습니다. 참고로 이 경우의 1/12(ML^2)의 값을 얻을 수 있는데요, 비슷한 방식으로 풀되, R의 구간을 잘 설정하면 저 값을 얻어내실 수 있을 것 같습니다. 더 유익한 글로 돌아와 보겠습니다! 글 읽어주셔서 감사합니다 ~